問題

突然の体調不良の時、案件状況を把握しているのが自分しかおらず、体調不良の中引き継ぎ作業をせざるを得ない。そのためちゃんと休めない

解決策提案

ありきたりな提案となってしまいますが、万が一の事態を考えて、自分が作業できなくなった場合でもプロジェクト進行できるように常に作業状況の記録を残しておく必要があります。
ただ、どちらかというとこれはリーダーがやるべき業務です。万が一の事態を考え、メイン担当者の他にサブ担当者を配置する、リーダー自身が各案件の作業状況を定期的に調べる、などの対応が必要です。
プロジェクトのグループチャットや定期進捗報告会議などにサブ担当が参加するだけで、致命的な自体は防ぐことができると思うのですがいかがでしょうか。